导数及其应用：极值、最值、单调性一文搞定

数学思维与导数学习

一、导数的概念与基础：从变化率到数学工具#

H3：导数的定义与几何意义

导数是微积分中最核心的概念之一，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。从物理角度看，它对应瞬时速度；从几何角度看，它是函数图像在该点的切线斜率。

导数的定义：对于函数 ( y = f(x) )，在点 ( x_0 ) 处的导数定义为： [ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} ] 这个极限值表示函数在 ( x_0 ) 处的变化率。当这个极限存在时，我们说函数在该点可导。

几何意义：函数 ( y = f(x) ) 在点 ( (x_0, f(x_0)) ) 处的导数 ( f'(x_0) ) 就是该点切线的斜率。例如，对于函数 ( f(x) = x^2 )，在 ( x = 1 ) 处的导数 ( f'(1) = 2 )，意味着在点 ( (1, 1) ) 处切线的斜率为 2。

💡 提示

💡 核心观点：导数是连接“函数图像”与“变化率”的桥梁。掌握导数，意味着从“静态观察函数”转向“动态分析变化”，这是数学思维从“描述性”到“分析性”的重要跨越。

H3：基本求导公式与法则

1. 基本初等函数的导数公式

2. 导数的四则运算法则

• 和差法则：( [f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x) )
• 乘积法则：( [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) )
• 商法则：( \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} )（( g(x) \neq 0 )）

🔬 研究发现

🔬 研究发现：根据《数学教育研究》2023年的一项调查，高中生对导数公式的记忆准确率仅为62%，但当结合具体物理情境（如自由落体运动的速度）理解时，记忆保持率提升至89%。这表明“情境化理解”比单纯记忆公式更有效。

H3：导数与函数变化率的关系

导数本质上是函数变化率的数学描述。当 ( f'(x_0) > 0 ) 时，函数在 ( x_0 ) 处呈上升趋势；当 ( f'(x_0) < 0 ) 时，函数呈下降趋势；当 ( f'(x_0) = 0 ) 时，函数在该点的变化率为0，可能是极值点或特殊点。

例如，对于函数 ( f(x) = x^3 - 3x )，其导数为 ( f'(x) = 3x^2 - 3 )。当 ( x = 1 ) 时，( f'(1) = 0 )，此时函数在该点的切线斜率为0，是一个极值点。

二、导数与函数单调性：从“看图像”到“算导数”#

H3：单调性的判定定理

函数单调性反映了函数值随自变量变化的增减趋势。导数为我们提供了一种精确判断单调性的方法：设函数 ( f(x) ) 在区间 ( (a, b) ) 内可导：

• 如果在 ( (a, b) ) 内 ( f'(x) > 0 )，则 ( f(x) ) 在 ( (a, b) ) 内单调递增；
• 如果在 ( (a, b) ) 内 ( f'(x) < 0 )，则 ( f(x) ) 在 ( (a, b) ) 内单调递减；
• 如果在 ( (a, b) ) 内 ( f'(x) = 0 )，则 ( f(x) ) 在 ( (a, b) ) 内为常函数。

教学案例1：单调性判断的常见错误与纠正

学生小明在解决“判断函数 ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 ) 的单调区间”时，给出了如下解答：

1. 求导：( f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) )
2. 令 ( f'(x) = 0 )，得 ( x = 0 ) 或 ( x = 2 )
3. 分析导数符号：当 ( x < 0 ) 或 ( x > 2 ) 时，( f'(x) > 0 )；当 ( 0 < x < 2 ) 时，( f'(x) < 0 )
4. 结论：函数在 ( (-\infty, 0) \cup (2, +\infty) ) 单调递增，在 ( (0, 2) ) 单调递减

问题分析：小明的错误在于单调区间的表示方式。根据单调性的定义，单调区间应使用“开区间”还是“闭区间”？

师生对话：

老师：小明，你能画出 ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 ) 的大致图像吗？

小明：当 ( x = 0 ) 时，( f(0) = 2 )；当 ( x = 2 ) 时，( f(2) = 8 - 12 + 2 = -2 )。图像应该在 ( x=0 ) 处有一个“波峰”，在 ( x=2 ) 处有一个“波谷”？

老师：非常好！那么在 ( x=0 ) 和 ( x=2 ) 这两个点，函数的切线斜率为0，这是极值点。那么在区间 ( (-\infty, 0) ) 内，函数是递增的，在 ( x=0 ) 处达到最大值，然后在 ( (0, 2) ) 递减，到 ( x=2 ) 处达到最小值，再在 ( (2, +\infty) ) 递增。

小明：所以单调区间应该写成 ( (-\infty, 0] ) 和 ( [2, +\infty) ) 递增，( (0, 2) ) 递减？

老师：完全正确！导数等于0的点本身不影响区间的单调性，只是需要注意区间的开闭。例如，在 ( x=0 ) 处，函数在该点的左侧和右侧都满足递增，所以 ( x=0 ) 可以包含在递增区间内。

正确解答：

1. 求导：( f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) ) 2.** 分析导数符号 **：
   • 当 ( x < 0 ) 时，( f'(x) > 0 )，函数单调递增；
   • 当 ( 0 < x < 2 ) 时，( f'(x) < 0 )，函数单调递减；
   • 当 ( x > 2 ) 时，( f'(x) > 0 )，函数单调递增；
   • 在 ( x = 0 ) 和 ( x = 2 ) 处，( f'(x) = 0 )，函数在这些点处取得极值。 3.** 单调区间表示 **：
   • 单调递增区间：( (-\infty, 0] \cup [2, +\infty) )
   • 单调递减区间：( (0, 2) )

错误根源：小明混淆了“单调区间”的表示方式，错误地使用了“并集”符号连接两个递增区间。实际上，在 ( x=0 ) 和 ( x=2 ) 处的极值点不影响区间单调性，这些点可以包含在递增区间中。

H3：单调性的应用场景

导数判断单调性在解决以下问题时尤为重要：

1.** 比较函数值大小 ：若已知函数的单调性，可通过自变量大小关系直接比较函数值大小。 2. 证明不等式 ：构造辅助函数，通过证明其导数符号来证明不等式。 3. 确定函数图像形状 ：结合导数符号变化，画出函数的大致图像。 4. 解决方程根的分布问题 **：利用单调性确定方程根的存在性和个数。

教学案例2：单调性在不等式证明中的应用

证明：当 ( x > 0 ) 时，( \ln(1 + x) < x )

分析：构造函数 ( f(x) = x - \ln(1 + x) )，通过证明 ( f(x) > 0 ) 即可。

师生对话：

老师：我们可以用导数来证明这个不等式，你能尝试构造一个合适的函数吗？

学生：令 ( f(x) = x - \ln(1 + x) )，这样 ( f(x) > 0 ) 等价于 ( x > \ln(1 + x) )，也就是要证的不等式。

老师：非常好！接下来需要求 ( f(x) ) 的导数，判断其单调性。

学生：( f'(x) = 1 - \frac{1}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} )

老师：当 ( x > 0 ) 时，( f'(x) ) 的符号如何？

学生：因为 ( x > 0 )，所以 ( f'(x) = \frac{x}{1 + x} > 0 )，因此 ( f(x) ) 在 ( (0, +\infty) ) 上单调递增。

老师：那么 ( f(0) = 0 - \ln(1 + 0) = 0 )，当 ( x > 0 ) 时，( f(x) ) 单调递增，所以 ( f(x) > f(0) = 0 )，即 ( x - \ln(1 + x) > 0 )，从而证明 ( \ln(1 + x) < x )。

学生：原来如此！这个方法比传统的代数变形简单多了！

变式训练：证明当 ( x > 0 ) 时，( e^x > 1 + x )。（提示：构造 ( f(x) = e^x - 1 - x )，求导分析单调性）

H3：单调性的综合应用与易错点

常见错误类型：

1.** 忽略定义域限制 **：例如，函数 ( f(x) = \frac{1}{x} ) 的导数 ( f'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0 )，但定义域为 ( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) )，不能说在整个定义域上单调递减，而应分开两个区间讨论。

2.** 导数计算错误 **：如忘记乘积法则或商法则，导致导数符号判断错误。例如，( f(x) = x^2 \ln x ) 的导数应为 ( f'(x) = 2x \ln x + x )，若漏写 ( x ) 则会得出错误结论。

3.** 单调区间的“跳跃”问题 **：对于分段函数，需分别讨论各段的单调性，再综合判断。例如，( f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \ -x^2, & x < 0 \end{cases} )，虽然在每段都单调，但整体不是单调函数。

💡 提示

💡 学习策略：解决单调性问题时，建议遵循“先求导→再找驻点→分析导数符号→确定单调区间”的四步流程。同时，注意定义域的限制，避免因忽略定义域导致错误。

三、导数与函数极值：从驻点到极值点的关键判断#

H3：极值的定义与判定方法

极值的定义：设函数 ( f(x) ) 在点 ( x_0 ) 的某邻域 ( U(x_0) ) 内有定义，若对任意 ( x \in U(x_0) )，有 ( f(x) < f(x_0) )（或 ( f(x) > f(x_0) )），则称 ( f(x_0) ) 是函数 ( f(x) ) 的一个极大值（或极小值），( x_0 ) 称为极大值点（或极小值点）。

极值的判定定理：

1.** 第一充分条件 **：设函数 ( f(x) ) 在 ( x_0 ) 处连续，在 ( x_0 ) 的某去心邻域内可导：

• 若当 ( x < x_0 ) 时 ( f'(x) > 0 )，当 ( x > x_0 ) 时 ( f'(x) < 0 )，则 ( f(x_0) ) 是极大值；
• 若当 ( x < x_0 ) 时 ( f'(x) < 0 )，当 ( x > x_0 ) 时 ( f'(x) > 0 )，则 ( f(x_0) ) 是极小值；
• 若在 ( x_0 ) 两侧 ( f'(x) ) 符号不变，则 ( f(x_0) ) 不是极值。

2.** 第二充分条件 **：设函数 ( f(x) ) 在 ( x_0 ) 处具有二阶导数且 ( f'(x_0) = 0 )：

• 若 ( f''(x_0) < 0 )，则 ( f(x_0) ) 是极大值；
• 若 ( f''(x_0) > 0 )，则 ( f(x_0) ) 是极小值；
• 若 ( f''(x_0) = 0 )，则无法判断，需用第一充分条件。

H3：极值点的分类与判断

驻点与极值点的关系：

• 驻点是导数为0的点（( f'(x_0) = 0 )），但驻点不一定是极值点；
• 极值点一定是驻点或不可导点（如 ( f(x) = |x| ) 在 ( x=0 ) 处不可导但为极小值点）。

教学案例3：极值点的判断与分类

求函数 ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 ) 的极值点。

错误解答：

1. 求导：( f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) )
2. 令 ( f'(x) = 0 )，得驻点 ( x = 0 ) 和 ( x = 2 )
3. 直接判断：( x = 0 ) 是极大值点，( x = ) 2 是极小值点

问题分析：学生忽略了第二充分条件或第一充分条件的应用，直接认定驻点就是极值点。

正确解答流程：

方法一：第一充分条件

1. 分析导数符号变化：
   • 当 ( x < 0 ) 时，( f'(x) > 0 )，函数单调递增；
   • 当 ( 0 < x < 2 ) 时，( f'(x) < 0 )，函数单调递减；
   • 当 ( x > 2 ) 时，( f'(x) > 0 )，函数单调递增。
2. 结论：
   • 在 ( x = 0 ) 处，函数从递增变为递减 → 极大值点；
   • 在 ( x = 2 ) 处，函数从递减变为递增 → 极小值点。

方法二：第二充分条件

1. 求二阶导数：( f''(x) = 6x - 6 )
2. 计算二阶导数在驻点的值：
   • 在 ( x = 0 ) 处，( f''(0) = -6 < 0 ) → 极大值点；
   • 在 ( x = 2 ) 处，( f''(2) = 6 > 0 ) → 极小值点。

错误根源：学生错误地认为所有驻点都是极值点，忽略了“驻点是极值点的必要条件而非充分条件”。例如，函数 ( f(x) = x^3 ) 在 ( x = 0 ) 处导数为0，但不是极值点。

H3：极值问题的解题策略

解决极值问题需遵循以下步骤：

1. 求导：计算函数的一阶导数 ( f'(x) )；
2. 找驻点：解方程 ( f'(x) = 0 )，得到所有驻点；
3. 分析不可导点：检查函数定义域内是否有不可导点（如绝对值函数的尖点）；
4. 判断极值：
   • 用第一充分条件：分析驻点（或不可导点）两侧导数符号变化；
   • 用第二充分条件：计算二阶导数在驻点的值，判断符号。
5. 确定极值：比较极值点的函数值，确定极大值和极小值。

表2：极值点判断方法对比

📊 数据洞察

📊 学习数据：根据iXue教育平台2023年用户学习报告，使用“列表法+第一充分条件”组合策略的学生，在极值问题中错误率降低了53%，解题准确率从67%提升至92%。这表明结合多种方法验证比单一方法更可靠。

四、导数与函数最值：从极值到全局最优#

H3：最值的定义与与极值的区别

最值的定义：设函数 ( f(x) ) 在区间 ( [a, b] ) 上有定义，若存在 ( x_0 \in [a, b] )，使得对任意 ( x \in [a, b] )，有 ( f(x_0) \geq f(x) )（或 ( f(x_0) \leq f(x) )），则称 ( f(x_0) ) 是函数 ( f(x) ) 在区间 ( [a, b] ) 上的最大值（或最小值）。

极值与最值的区别：

• 极值：局部概念，仅在某点附近的函数值最大或最小；
• 最值：全局概念，在整个区间上的函数值最大或最小。
• 关系：闭区间上的最值可能在极值点或区间端点处取得；开区间上的函数可能没有最值或最值在极值点处取得。

H3：闭区间上的最值求解

闭区间上最值的求解步骤：

1. 求导数：计算 ( f'(x) )；
2. 找驻点：解方程 ( f'(x) = 0 )，得到驻点；
3. 找端点：计算区间端点的函数值 ( f(a) ) 和 ( f(b) )；
4. 比较大小：比较所有驻点和端点的函数值，最大的为最大值，最小的为最小值。

教学案例4：闭区间上的最值求解

求函数 ( f(x) = x^3 - 3x + 1 ) 在区间 ( [0, 2] ) 上的最大值和最小值。

错误解答：

1. 求导：( f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) )
2. 令 ( f'(x) = 0 )，得驻点 ( x = 1 )（( x = -1 ) 不在区间内）
3. 计算函数值：
   • ( f(0) = 0 - 0 + 1 = 1 )
   • ( f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 )
   • ( f(2) = 8 - 6 + 1 = 3 )
4. 结论：最大值为3（在 ( x=2 ) 处），最小值为-1（在 ( x=1 ) 处）

正确解答：

1. 求导：( f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) )
2. 找驻点：( x = 1 ) 和 ( x = -1 )，其中 ( x = 1 \in [0, 2] )
3. 计算所有关键点的函数值：
   • 区间端点：( f(0) = 1 )，( f(2) = 3 )
   • 驻点：( f(1) = -1 )
4. 比较大小：( 3 > 1 > -1 )
5. 结论：最大值为 ( f(2) = 3 )，最小值为 ( f(1) = -1 )

错误根源：学生遗漏了“闭区间端点”的比较，仅关注了驻点的函数值，这是闭区间上最值求解的常见错误。

H3：实际问题中的最值应用

导数在解决实际问题中的最值问题（如利润最大化、面积最小化、距离最短等）时非常有效。关键步骤是：

1. 建立函数模型：根据实际问题，确定自变量和因变量，建立函数关系；
2. 确定定义域：根据实际意义确定自变量的取值范围；
3. 求导分析极值：利用导数找到函数的极值点；
4. 验证最值：判断极值是否为最值（结合实际问题背景）。

教学案例5：包装设计中的最值问题

问题：某公司要设计一种圆柱形罐头，容积固定为 ( V = 1000 , \text{cm}^3 )。如何确定罐头的高度 ( h ) 和底面半径 ( r )，使得制作罐头所用的金属材料最少（即表面积最小）？

师生对话：

老师：首先，我们需要建立表面积关于半径的函数。圆柱的表面积由侧面积和两个底面积组成，对吧？

学生：是的，表面积 ( S = 2\pi r^2 + 2\pi r h )，其中 ( r ) 是底面半径，( h ) 是高度。

老师：容积固定为 ( V = 1000 , \text{cm}^3 )，圆柱体积公式是什么？

学生：体积 ( V = \pi r^2 h = 1000 )，所以 ( h = \frac{1000}{\pi r^2} )。

老师：很好，现在我们可以将表面积 ( S ) 表示为单一变量 ( r ) 的函数。

学生：代入 ( h )，得 ( S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{1000}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r} )。

老师：接下来需要求 ( S(r) ) 的最小值。怎么做？

学生：求导！( S'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} )

老师：令导数等于0，解方程 ( 4\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0 )

学生：( 4\pi r = \frac{2000}{r^2} ) → ( 4\pi r^3 = 2000 ) → ( r^3 = \frac{500}{\pi} ) → ( r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} )

老师：计算高度 ( h ) 和半径 ( r ) 的关系。

学生：( h = \frac{1000}{\pi r^2} = \frac{1000}{\pi \cdot \left( \frac{500}{\pi} \right)^{2/3}} = 2 \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} = 2r )

老师：所以 ( h = 2r )，即高度等于直径时，表面积最小。这就是最优设计！

正确解答：

1. 建立模型：( S(r) = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r} )，( r > 0 )
2. 求导：( S'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} )
3. 令 ( S'(r) = 0 )，解得 ( r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} )
4. 验证：二阶导数 ( S''(r) = 4\pi + \frac{4000}{r^3} > 0 )，故为极小值点，即最小值点
5. 结论：当 ( h = 2r )（高度等于直径）时，罐头表面积最小，用料最省。

数学意义：这个问题展示了导数在“优化”中的核心作用——通过求导找到函数的最小值点，从而实现资源的最优配置。

H3：最值问题的常见误区

1. 忽略实际意义：例如，在求最大利润时，忘记考虑自变量的实际取值范围（如 ( r > 0 )）。
2. 混淆“极值”与“最值”：在开区间内，函数可能没有最值，或最值在端点处取得。
3. 导数计算错误：在复合函数求导时容易出错，如 ( f(x) = (x^2 + 1)^3 ) 的导数应为 ( 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x )。

⚠️ 注意

⚠️ 重要提醒：解决实际问题时，需先明确自变量的物理意义和取值范围。例如，在距离最短问题中，自变量不能为负数；在利润问题中，自变量需满足“非负”条件。

五、导数应用的综合案例与常见误区#

H3：综合应用题解析

高考真题示例：（改编自2023年高考数学全国卷）

题目：已知函数 ( f(x) = x^3 - ax^2 - 3x )，其中 ( a ) 为常数。

（1）若 ( f(x) ) 在 ( x = -1 ) 处取得极值，求 ( a ) 的值； （2）求 ( f(x) ) 在区间 ( [1, 2] ) 上的最小值。

解答：

（1）求导：( f'(x) = 3x^2 - 2ax - 3 )

因为 ( f(x) ) 在 ( x = -1 ) 处取得极值，所以 ( f'(-1) = 0 )

代入 ( x = -1 )：( 3(-1)^2 - 2a(-1) - 3 = 0 ) → ( 3 + 2a - 3 = 0 ) → ( a = 0 )

验证：当 ( a = 0 ) 时，( f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) )，在 ( x = -1 ) 处导数由正变负，确为极大值点。 因此 ( a = 0 )。

（2）求 ( f(x) ) 在 ( [1, 2] ) 上的最小值：

1. 导数：( f'(x) = 3x^2 - 2ax - 3 )，判别式 ( \Delta = 4a^2 + 36 > 0 )，故有两个不同实根 ( x_1, x_2 )。
2. 由于 ( f'(1) = 3 - 2a - 3 = -2a )，( f'(2) = 12 - 4a - 3 = 9 - 4a )。
3. 分情况讨论：
   • 当 ( a \leq 0 ) 时，( f'(1) = -2a \geq 0 )，( f'(2) = 9 - 4a > 0 )，故 ( f(x) ) 在 ( [1, 2] ) 单调递增，最小值为 ( f(1) = 1 - a - 3 = -a - 2 )。
   • 当 ( a \geq \frac{9}{4} ) 时，( f'(2) = 9 - 4a \leq 0 )，( f(x) ) 在 ( [1, 2] ) 单调递减，最小值为 ( f(2) = 8 - 4a - 6 = 2 - 4a )。
   • 当 ( 0 < a < \frac{9}{4} ) 时，( f'(1) = -2a < 0 )，( f'(2) = 9 - 4a > 0 )，存在唯一驻点 ( x_0 \in (1, 2) )，最小值为 ( \min{f(1), f(2), f(x_0)} )。

综合结论：

当 ( a \leq 0 ) 时，最小值为 ( -a - 2 )； 当 ( a \geq \frac{9}{4} ) 时，最小值为 ( 2 - 4a )；当 ( 0 < a < \frac{9}{4} ) 时，需比较 ( f(1) ) 和 ( f(2) ) 的大小。

H3：常见错误类型与规避方法

错误类型1：求导计算错误

错误示例：求 ( f(x) = x^2 \ln x ) 的导数时，错误地写成 ( f'(x) = 2x \cdot \frac{1}{x} = 2 )。

正确解法：使用乘积法则，( f'(x) = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x )。

错误类型2：忽略定义域限制

错误示例：求 ( f(x) = \ln(x^2 - 1) ) 的单调区间时，未考虑定义域 ( x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) )，直接用导数 ( f'(x) = \frac{2x}{x^2 - 1} ) 判断。

错误类型3：极值与最值混淆

错误示例：在闭区间 ( [0, 2] ) 上求函数 ( f(x) = x^3 - 3x ) 的最大值时，仅计算极值点 ( x = 1 ) 的函数值 ( f(1) = -2 )，而忽略了端点 ( f(0) = 0 ) 和 ( f(2) = 2 )，导致结论错误。

💡 提示

💡 正确做法：解决导数应用问题时，建议使用“三步验证法”：

1. 求导后先确定定义域；
2. 列出所有可能的极值点和端点； 3